Czerwiec 2019Liczba zadań: 34

Filtry

Zadania Otwarte
Zadania Zamknięte
czerwiec 2019Zadanie 1
Standardowe zadanie1 pkt.Zadanie niezgodne z obecną formułą
Treść

Rozwiązaniem równania ( 𝑥 2 − 2 𝑥 − 3 ) ⋅ ( 𝑥 2 − 9 ) 𝑥 − 1 = 0 nie jest liczba

A-3
B-1
C1
D3
Odpowiedź

B

czerwiec 2019Zadanie 2
Pewniak maturalny1 pkt.
Treść

Liczba l o g 3 ⁡ 2 7 l o g 3 ⁡ √ 2 7 jest równa

A − 1 2
B2
C-2
D 1 2
Odpowiedź

A

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie
czerwiec 2019Zadanie 3
Standardowe zadanie1 pkt.
Treść

Jedną z liczb spełniających nierówność ( 𝑥 − 6 ) ⋅ ( 𝑥 − 2 ) 2 ⋅ ( 𝑥 + 4 ) ⋅ ( 𝑥 + 1 0 ) > 0 jest

A-5
B0
C3
D5
Odpowiedź

A

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie
czerwiec 2019Zadanie 4
Standardowe zadanie1 pkt.
Treść

Liczba dodatnia 𝑎 jest zapisana w postaci ułamka zwykłego. Jeżeli licznik tego ułamka zmniejszymy o 50%, a jego mianownik zwiększymy o 50%, to otrzymamy liczbę 𝑏 taką, że

A 𝑏 = 1 4 𝑎
B 𝑏 = 1 3 𝑎
C 𝑏 = 1 2 𝑎
D 𝑏 = 2 3 𝑎
Odpowiedź

B

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie
czerwiec 2019Zadanie 5
Standardowe zadanie1 pkt.
Treść

Funkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓 ( 𝑥 ) = ( 𝑎 + 1 ) 𝑥 + 1 1 , gdzie 𝑎 to pewna liczba rzeczywista, ma miejsce zerowe równe 𝑥 = 3 4 . Stąd wynika, że

A 𝑎 = − 4 1 3
B 𝑎 = 4 1 3
C 𝑎 = − 4 7 3
D 𝑎 = 4 7 3
Odpowiedź

C

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie
czerwiec 2019Zadanie 6
Standardowe zadanie1 pkt.
Treść

Funkcja 𝑓 jest określona dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 wzorem 𝑓 ( 𝑥 ) = ( 𝑚 √ 5 − 1 ) 𝑥 + 3 . Ta funkcja jest rosnąca dla każdej liczby 𝑚 spełniającej warunek

A 𝑚 > 1 √ 5
B 𝑚 > 1 − √ 5
C 𝑚 < √ 5 − 1
D 𝑚 < 1 √ 5
Odpowiedź

B

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie
czerwiec 2019Zadanie 7
Standardowe zadanie1 pkt.
Treść

Układ równań { 2 𝑥 − 𝑦 = 2 𝑥 + 𝑚 𝑦 = 1 ma nieskończenie wiele rozwiązań dla

A 𝑚 = − 1
B 𝑚 = 1
C 𝑚 = 1 2
D 𝑚 = − 1 2
Odpowiedź

C

czerwiec 2019Zadanie 8
Standardowe zadanie1 pkt.
Treść

Rysunek przedstawia wykres funkcji 𝑓 zbudowany z 6 odcinków, przy czym punkty 𝐵 = ( 2 , − 1 ) i 𝐶 = ( 4 , − 1 ) należą do wykresu funkcji.

Równanie 𝑓 ( 𝑥 ) = − 1 ma

Brakujący obrazek do zadania
Adokładnie jedno rozwiązanie.
Bdokładnie dwa rozwiązania.
Cdokładnie trzy rozwiązania.
Dnieskończenie wiele rozwiązań.
Odpowiedź

D

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie
czerwiec 2019Zadanie 9
Standardowe zadanie1 pkt.
Treść

Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny ( 𝑎 𝑛 ) , określony dla liczb naturalnych 𝑥 ≥ 1 , o wyrazach dodatnich. Jeśli 𝑎 2 + 𝑎 9 = 𝑎 4 + 𝑎 𝑘 , to 𝑘 jest równe

A8
B7
C6
D5
Odpowiedź

D

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie
czerwiec 2019Zadanie 10
Niestandardowe zadanie1 pkt.
Treść

W ciągu ( 𝑎 𝑛 ) określonym dla każdej liczby 𝑛 ⩾ 1 jest spełniony warunek 𝑎 𝑛 + 3 = − 2 ⋅ 3 𝑛 + 1 . Wtedyx1x1

A 𝑎 5 = − 5 4
B 𝑎 5 = − 2 7
C 𝑎 5 = 2 7
D 𝑎 5 = 5 4
Odpowiedź

D

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie
czerwiec 2019Zadanie 11
Pewniak maturalny1 pkt.
Treść

Dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 wyrażenie ( 3 𝑥 − 2 ) 2 − ( 2 𝑥 − 3 ) ( 2 𝑥 + 3 ) jest po uproszczeniu równe

A 5 𝑥 2 − 1 2 𝑥 − 5
B 5 𝑥 2 − 1 3
C 5 𝑥 2 − 1 2 𝑥 + 1 3
D 5 𝑥 2 + 5
Odpowiedź

C

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie
czerwiec 2019Zadanie 12
Niestandardowe zadanie1 pkt.
Treść

Kąt 𝛼 ∈ ( 0 ∘ , 1 8 0 ∘ ) oraz wiadomo, że s i n ⁡ 𝛼 ⋅ c o s ⁡ 𝛼 = − 3 8 . Wartość wyrażenia ( c o s ⁡ 𝛼 − s i n ⁡ 𝛼 ) 2 + 2 jest równa

A 1 5 4
B 9 4
C 2 7 8
D 2 1 8
Odpowiedź

D

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie
czerwiec 2019Zadanie 13
Standardowe zadanie1 pkt.
Treść

Wartość wyrażenia 2 s i n 2 ⁡ 1 8 ∘ + s i n 2 ⁡ 7 2 ∘ + c o s 2 ⁡ 1 8 ∘ jest równa

A 0
B 1
C 2
D 4
Odpowiedź

C

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie
czerwiec 2019Zadanie 14
Standardowe zadanie1 pkt.
Treść

Punkty 𝐵 , 𝐶 i 𝐷 leżą na okręgu o środku 𝑆 i promieniu 𝑟 . Punkt 𝐴 jest punktem wspólnym prostych 𝐵 𝐶 i 𝑆 𝐷 , a odcinki 𝐴 𝐵 i 𝑆 𝐶 są równej długości. Miara kąta 𝐵 𝐶 𝑆 jest równa 3 4 ∘ (zobacz rysunek). Wtedy

Brakujący obrazek do zadania
A 𝛼 = 1 2 ∘
B 𝛼 = 1 7 ∘
C 𝛼 = 2 2 ∘
D 𝛼 = 3 4 ∘
Odpowiedź

B

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie
czerwiec 2019Zadanie 15
Standardowe zadanie1 pkt.
Treść

Pole trójkąta 𝐴 𝐵 𝐶 o wierzchołkach 𝐴 = ( 0 , 0 ) , 𝐵 = ( 4 , 2 ) , 𝐶 = ( 2 , 6 ) jest równe

A5
B10
C15
D20
Odpowiedź

B

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie
czerwiec 2019Zadanie 16
Pewniak maturalny1 pkt.
Treść

Na okręgu o środku w punkcie 𝑂 wybrano trzy punkty 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 tak, że | ∠ 𝐴 𝑂 𝐵 | = 7 0 ∘ , | ∠ 𝑂 𝐴 𝐶 | = 2 5 ∘ . Cieciwa 𝐴 𝐶 przecina promień 𝑂 𝐵 (zobacz rysunek). Wtedy miara ∠ 𝑂 𝐵 𝐶 jest równa

Brakujący obrazek do zadania
A 𝛼 = 2 5 ∘
B 𝛼 = 6 0 ∘
C 𝛼 = 7 0 ∘
D 𝛼 = 8 5 ∘
Odpowiedź

B

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie
czerwiec 2019Zadanie 17
Standardowe zadanie1 pkt.
Treść

W układzie współrzędnych na płaszczyźnie dany jest odcinek 𝐴 𝐵 o końcach w punktach 𝐴 = ( 7 , 4 ) , 𝐵 = ( 1 1 , 1 2 ) . Punkt 𝑆 leży wewnątrz odcinka 𝐴 𝐵 oraz | 𝐴 𝑆 | = 3 ⋅ | 𝐵 𝑆 | . Wówczas

A 𝑆 = ( 8 , 6 )
B 𝑆 = ( 9 , 8 )
C 𝑆 = ( 1 0 , 1 0 )
D 𝑆 = ( 1 3 , 1 6 )
Odpowiedź

B

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie
czerwiec 2019Zadanie 18
Standardowe zadanie1 pkt.
Treść

Suma odległości punktu 𝐴 = ( − 4 , 2 ) od prostych o równaniach 𝑥 = 4 i 𝑦 = − 4 jest równa

A14
B12
C10
D8
Odpowiedź

A

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie
czerwiec 2019Zadanie 19
Standardowe zadanie1 pkt.
Treść

Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa 9 6 c m . Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe

A 4 8 c m 2
B 6 4 c m 2
C 3 8 4 c m 2
D 5 1 2 c m 2
Odpowiedź

D

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie
czerwiec 2019Zadanie 20
Standardowe zadanie1 pkt.
Treść

Dany jest trójkąt równoramienny 𝐴 𝐵 𝐶 , w którym | 𝐴 𝐶 | = | 𝐵 𝐶 | . Kąt między ramionami tego trójkąta ma miarę 4 4 ∘ . Dwusieczna kąta poprowadzona z wierzchołka 𝐴 przecina bok 𝐵 𝐶 tego trójkąta w punkcie 𝐷 . Kąt ma miarę

A 7 8 ∘
B 3 4 ∘
C 6 8 ∘
D 1 0 2 ∘
Odpowiedź

A

czerwiec 2019Zadanie 21
Standardowe zadanie1 pkt.
Treść

Liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 6 jest

A60
B45
C30
D15
Odpowiedź

D

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie
czerwiec 2019Zadanie 22
Niestandardowe zadanie1 pkt.
Treść

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 o boku długości 4. Krawędź boczna 𝐷 𝑆 jest prostopadła do podstawy i ma długość 3 (zobacz rysunek). Pole ściany 𝐵 𝐶 𝑆 tego ostrosłupa jest równe

Brakujący obrazek do zadania
A20
B10
C16
D12
Odpowiedź

B

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie
czerwiec 2019Zadanie 23
Standardowe zadanie1 pkt.
Treść

Dany jest sześcian 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 𝐻 . Przekątne 𝐴 𝐶 i 𝐵 𝐷 ściany 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 sześcianu przecinają się w punkcie 𝑃 (zobacz rysunek).

Tangens kąta, jaki odcinek 𝑃 𝐻 tworzy z płaszczyzną 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 , jest równy

Brakujący obrazek do zadania
A √ 2 2
B 1 2
C 1
D √ 2
Odpowiedź

D

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie
czerwiec 2019Zadanie 24
Standardowe zadanie1 pkt.
Treść

Przekrojem osiowym walca jest kwadrat o przekątnej długości 1 2 . Objętość tego walca jest zatem równa

A 3 6 𝜋 √ 2
B 1 0 8 𝜋 √ 2
C 5 4 𝜋
D 1 0 8 𝜋
Odpowiedź

B

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie
czerwiec 2019Zadanie 25
Standardowe zadanie1 pkt.
Treść

Ze zbioru kolejnych liczb naturalnych { 2 0 , 2 1 , 2 2 , … , 3 9 , 4 0 } losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez 4 jest równe

A 1 4
B 2 7
C 6 1 9
D 3 1 0
Odpowiedź

B

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie
czerwiec 2019Zadanie 26
Pewniak maturalny2 pkt.
Treść

Rozwiąż nierówność: 𝑥 ( 7 𝑥 + 2 ) > 7 𝑥 + 2 .

Odpowiedź

( − ∞ , − 2 7 ) ∪ ( 1 , ∞ )

czerwiec 2019Zadanie 27
Standardowe zadanie2 pkt.
Treść

Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste 𝑥 , które spełniają warunek: 3 𝑥 2 − 8 𝑥 − 3 𝑥 − 3 = 𝑥 − 3 .

Odpowiedź

-2

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie
czerwiec 2019Zadanie 28
Standardowe zadanie2 pkt.
Treść

Dany jest trójkąt 𝐴 𝐵 𝐶 . Punkt 𝑆 jest środkiem boku 𝐴 𝐵 tego trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że odległości punktów 𝐴 i 𝐵 od prostej 𝐶 𝑆 są równe.

Brakujący obrazek do zadania
Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie
czerwiec 2019Zadanie 29
Standardowe zadanie2 pkt.Zadanie niezgodne z obecną formułą
Treść

Wykaż, że dla każdej liczby 𝑎 > 0 i dla każdej liczby 𝑏 > 0 prawdziwa jest nierówność
1 𝑎 + 1 𝑏 ≥ 4 𝑎 + 𝑏

czerwiec 2019Zadanie 30
Standardowe zadanie2 pkt.
Treść

W ciągu geometrycznym przez 𝑆 𝑛 oznaczamy sumę 𝑛 początkowych wyrazów tego ciągu, dla liczb naturalnych 𝑛 ≥ 1 . Wiadomo, że dla pewnego ciągu geometrycznego: 𝑆 1 = 2 i 𝑆 2 = 1 2 . Wyznacz iloraz i piąty wyraz tego ciągu.

Odpowiedź

1250

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie
czerwiec 2019Zadanie 31
Niestandardowe zadanie2 pkt.
Treść

Doświadczenie losowe polega na trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy sumę oczek równą 1 6 .

Odpowiedź

1 3 6

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie
czerwiec 2019Zadanie 32
Standardowe zadanie5 pkt.
Treść

Podstawą ostrosłupa 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝑆 jest prostokąt o polu równym 4 3 2 , a stosunek długości boków tego prostokąta jest równy 3 : 4 . Przekątne podstawy 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 przecinają się w punkcie 𝑂 . Odcinek 𝑆 𝑂 jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Kąt 𝑆 𝐴 𝑂 ma miarę 6 0 ∘ . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Brakujący obrazek do zadania
Odpowiedź

2 1 6 0 √ 3

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie
czerwiec 2019Zadanie 33
Standardowe zadanie4 pkt.
Treść

Liczby rzeczywiste 𝑥 i 𝑧 spełniają warunek 2 𝑥 + 𝑧 = 1 . Wyznacz takie wartości 𝑥 i 𝑧 , dla których wyrażenie 𝑥 2 + 𝑧 2 + 7 𝑥 𝑧 przyjmuje największą wartość. Podaj tę największą wartość

Odpowiedź

𝑥 = 1 6 , 𝑧 = 2 3
Największa wartość = 5 4

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie
czerwiec 2019Zadanie 34
Standardowe zadanie4 pkt.
Treść

Dany jest trójkąt rozwartokątny 𝐴 𝐵 𝐶 , w którym ∠ 𝐴 𝐶 𝐵 ma miarę 1 2 0 ∘ . Ponadto wiadomo, że | 𝐵 𝐶 | = 1 0 i | 𝐴 𝐵 | = 1 0 √ 7 (zobacz rysunek). Oblicz długość trzeciego boku trójkąta 𝐴 𝐵 𝐶 .

Brakujący obrazek do zadania
Odpowiedź

20

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie