Zadania

czerwiec 2023Zadanie 1

Standardowe zadanie1 pkt.Zadanie niezgodne z obecną formułą

Treść

Wszystkich liczb całkowitych dodatnich spełniających nierówność $| 𝑥 + 5 | \leq 15$ jest

A9

B10

C20

D21

Odpowiedź

C

czerwiec 2023Zadanie 2

Standardowe zadanie1 pkt.

Treść

Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $𝑥$ iloczyn $\sqrt 𝑥 \cdot 3 \sqrt 𝑥 \cdot 6 \sqrt 𝑥$ jest równy

A

𝑥

B

𝑥 110

C

𝑥 18

D

𝑥 2

Odpowiedź

A

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie

czerwiec 2023Zadanie 3

Standardowe zadanie2 pkt.

Treść

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $𝑘$ reszta z dzielenia liczby $49 𝑘 2 + 7 𝑘 - 2$ przez $7$ jest równa $5$ .

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie

czerwiec 2023Zadanie 4

Standardowe zadanie1 pkt.

Treść

Klient wpłacił do banku 30 000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 7% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie.

Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa

A2100

B2247

C4200

D4347

Odpowiedź

D

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie

czerwiec 2023Zadanie 5

Pewniak maturalny1 pkt.

Treść

Liczba $l o g 2 18 + l o g 2 4$ jest równa

A

(- 1)

B

12

C2

D5

Odpowiedź

A

czerwiec 2023Zadanie 6

Pewniak maturalny1 pkt.

Treść

Liczba $(1 + \sqrt 5) 2 - (1 - \sqrt 5) 2$ jest równa

A

0

B

(- 10)

C

4 \sqrt 5

D

2 + 2 \sqrt 5

Odpowiedź

C

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie

czerwiec 2023Zadanie 7

Standardowe zadanie1 pkt.

Treść

Dla każdej liczby rzeczywistej $𝑥$ różnej od $0$ i $2$ wyrażenie $𝑥 2 + 𝑥 (𝑥 - 2) 2 \cdot 𝑥 - 2 𝑥$ jest równe

A

𝑥 2 + 1 𝑥 - 2

B

𝑥 + 1 2

C

𝑥 2 (𝑥 - 2) 2

D

𝑥 + 1 𝑥 - 2

Odpowiedź

D

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie

czerwiec 2023Zadanie 8

Pewniak maturalny2 pkt.

Treść

Rozwiąż nierówność: $𝑥 (2 𝑥 - 1) < 2 𝑥$ .

Odpowiedź

$(0, 32)$

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie

czerwiec 2023Zadanie 9

Standardowe zadanie1 pkt.Zadanie niezgodne z obecną formułą

Treść

Rozwiąż równanie
$3 𝑥 3 + 4 𝑥 2 - 9 𝑥 - 36 = 0$

czerwiec 2023Zadanie 10

Standardowe zadanie1 pkt.Zadanie niezgodne z obecną formułą

Treść

Równanie $(𝑥 2 - 3 𝑥) (𝑥 + 2) 𝑥 2 - 4 = 0$ w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

Ajedno rozwiązanie.

Bdwa rozwiązania.

Ctrzy rozwiązania.

Dcztery rozwiązania.

Odpowiedź

D

czerwiec 2023Zadanie 11

Standardowe zadanie1 pkt.

Treść

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(𝑥, 𝑦)$ wykresy funkcji liniowych $𝑓 (𝑥) = (2 𝑚 + 3) 𝑥 + 5$ oraz $𝑔 (𝑥) = - 𝑥$ nie mają punktów wspólnych dla

A

𝑚 = - 2

B

𝑚 = - 1

C

𝑚 = 1

D

𝑚 = 2

Odpowiedź

A

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie

czerwiec 2023Zadanie 12

Standardowe zadanie1 pkt.

Treść

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(𝑥, 𝑦)$ prosta o równaniu $𝑦 = 𝑎 𝑥 + 𝑏$ przechodzi przez punkty $𝐴 = (- 3, - 1)$ oraz $𝐵 = (4, 3)$ . Współczynnik $𝑎$ w równaniu tej prostej jest równy

A(-4)

B

(- 12)

C2

D

47

Odpowiedź

D

czerwiec 2023Zadanie 13

Treść

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(𝑥, 𝑦)$ narysowano wykres funkcji $𝑦 = 𝑓 (𝑥)$ .

czerwiec 2023Zadanie 13.1

Standardowe zadanie2 pkt.

Treść

1. Dziedziną funkcji $𝑓$ jest zbiór ...
2. Zbiorem wartości funkcji $𝑓$ jest zbiór ...

A

[- 3, - 1] \cup [1, 3]

B

(- 3, 3)

C

(- 3, - 1) \cup (1, 3)

D

[- 5, - 1] \cup [1, 5]

E

(- 5, 5)

F

(- 5, - 1) \cup (1, 5)

Odpowiedź

FA

czerwiec 2023Zadanie 13.2

Pewniak maturalny1 pkt.

Treść

Zapisz poniżej zbiór wszystkich rozwiązań nierówności $𝑓 (𝑥) < - 1$

Odpowiedź

(-5, -3)

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie

czerwiec 2023Zadanie 16

Standardowe zadanie1 pkt.

Treść

Ciąg $(𝑎 𝑛)$ jest określony wzorem $𝑎 𝑛 = 𝑛 - 2 3$ dla każdej liczby naturalnej $𝑛 \geq 1$ .

Liczba wyrazów tego ciągu mniejszych od $10$ jest równa

A28

B31

C32

D27

Odpowiedź

B

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie

czerwiec 2023Zadanie 17

Pewniak maturalny1 pkt.

Treść

Trzywyrazowy ciąg $(1, 4, 𝑎 + 5)$ jest arytmetyczny.

Liczba $𝑎$ jest równa

A0

B7

C2

D11

Odpowiedź

C

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie

czerwiec 2023Zadanie 18

Standardowe zadanie1 pkt.

Treść

Ciąg geometryczny $(𝑎 𝑛)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $𝑛 \geq 1$ . W tym ciągu $𝑎 1 = 3, 75$ oraz $𝑎 2 = - 7, 5$ . Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Suma trzech początkowych wyrazów ciągu $(𝑎 𝑛)$ jest równa

A11,25

B(-18,75)

C15

D(-15)

Odpowiedź

A

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie

czerwiec 2023Zadanie 19

Standardowe zadanie1 pkt.

Treść

Dla każdego kąta ostrego $𝛼$ wyrażenie $c o s 𝛼 - c o s 𝛼 \cdot s i n 2 𝛼$ jest równe

A

c o s 3 𝛼

B

s i n 2 𝛼

C

1 - s i n 2 𝛼

D

c o s 𝛼

Odpowiedź

A

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie

czerwiec 2023Zadanie 20

Standardowe zadanie2 pkt.

Treść

Dany jest trójkąt, którego kąty mają miary $30 \circ$ , $45 \circ$ oraz $105 \circ$ . Długości boków trójkąta, leżących naprzeciwko tych kątów są równe – odpowiednio – $𝑎$ , $𝑏$ oraz $𝑐$ (zobacz rysunek).

Pole tego trójkąta poprawnie określają wyrażenia oznaczone literami:

A

\sqrt 2 2 \cdot 𝑎 \cdot 𝑐

B

14 \cdot 𝑎 \cdot 𝑐

C

\sqrt 2 4 \cdot 𝑎 \cdot 𝑐

D

\sqrt 3 4 \cdot 𝑏 \cdot 𝑐

E

12 \cdot 𝑏 \cdot 𝑐

F

14 \cdot 𝑏 \cdot 𝑐

Odpowiedź

CF

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie

czerwiec 2023Zadanie 21

Standardowe zadanie1 pkt.

Treść

Odcinek $𝐴 𝐵$ jest średnicą okręgu o środku $𝑆$ . Prosta $𝑘$ jest styczna do tego okręgu w punkcie $𝐴$ . Prosta $𝑙$ przecina ten okrąg w punktach $𝐵$ i $𝐶$ . Proste $𝑘$ i $𝑙$ przecinają się w punkcie $𝐷$ , przy czym $| 𝐵 𝐶 | = 4$ i $| 𝐶 𝐷 | = 3$ (zobacz rysunek).

Odległość punktu $𝐴$ od prostej $𝑙$ jest równa

A

72

B

5

C

\sqrt 12

D

\sqrt 3 + 2

Odpowiedź

C

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie

czerwiec 2023Zadanie 22

Standardowe zadanie1 pkt.

Treść

W trapezie $𝐴 𝐵 𝐶 𝐷$ o podstawach $𝐴 𝐵$ i $𝐶 𝐷$ przekątne przecinają się w punkcie $𝐸$ (zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, lub F - jeśli jest fałszywe.

1. Trójkąt

𝐴 𝐵 𝐸

jest podobny do trójkąta

𝐶 𝐷 𝐸

.

P

F

2. Pole trójkąta

𝐴 𝐶 𝐷

jest równe polu trójkąta

𝐵 𝐶 𝐷

.

P

F

Odpowiedź

PP

czerwiec 2023Zadanie 23

Pewniak maturalny1 pkt.

Treść

Na łukach $𝐴 𝐵$ i $𝐶 𝐷$ okręgu są oparte kąty wpisane $𝐴 𝐷 𝐵$ i $𝐷 𝐵 𝐶$ , takie, że $| ∠ 𝐴 𝐷 𝐵 | = 20 \circ$ i $| ∠ 𝐷 𝐵 𝐶 | = 40 \circ$ (zobacz rysunek). Cięciwy $𝐴 𝐶$ i $𝐵 𝐷$ przecinają się w punkcie $𝐾$ . Miara kąta $𝐷 𝐾 𝐶$ jest równa

A

80 \circ

B

60 \circ

C

50 \circ

D

40 \circ

Odpowiedź

B

czerwiec 2023Zadanie 24

Standardowe zadanie1 pkt.

Treść

Pole trójkąta równobocznego $𝑇 1$ jest równe jest równe $(1, 5) 2 \cdot \sqrt 3 4$ . Pole trójkąta równobocznego $𝑇 2$ jest równe $(4, 5) 2 \cdot \sqrt 3 4$ . Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe.

Trójkąt $𝑇 2$ jest podobny do trójkąta $𝑇 1$ w skali

1. 3,

2. 9,

ponieważ

1. każdy z tych trójkątów ma dokładnie trzy osie symetrii.

2. pole trójkąta

𝑇 2

jest

9

razy większe od pola trójkąta

𝑇 1

.

3. bok trójkąta

𝑇 2

jest o

3

dłuższy od boku trójkąta

𝑇 1

Odpowiedź

A2

czerwiec 2023Zadanie 25

Standardowe zadanie1 pkt.

Treść

Pole równoległoboku $𝐴 𝐵 𝐶 𝐷$ jest równe $40 \sqrt 6$ . Bok $𝐴 𝐷$ tego równoległoboku ma długość $10$ , a kąt $𝐴 𝐵 𝐶$ równoległoboku ma miarę $135 \circ$ (zobacz rysunek).

Długość boku $𝐴 𝐵$ jest równa

A

8 \sqrt 3

B

8 \sqrt 2

C

16 \sqrt 2

D

16 \sqrt 3

Odpowiedź

A

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie

czerwiec 2023Zadanie 26

Standardowe zadanie1 pkt.

Treść

Funkcja liniowa $𝑓$ jest określona wzorem $𝑓 (𝑥) = - 𝑥 + 1$ . Funkcja $𝑔$ jest liniowa. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(𝑥, 𝑦)$ wykres funkcji $𝑔$ przechodzi przez punkt $𝑃 = (0, - 1)$ i jest prostopadły do wykresu funkcji $𝑓$ . Wzorem funkcji $𝑔$ jest

A

𝑔 (𝑥) = 𝑥 + 1

B

𝑔 (𝑥) = - 𝑥 - 1

C

𝑔 (𝑥) = - 𝑥 + 1

D

𝑔 (𝑥) = 𝑥 - 1

Odpowiedź

D

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie

czerwiec 2023Zadanie 27

Standardowe zadanie1 pkt.

Treść

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(𝑥, 𝑦)$ punkty $𝐴 = (- 1, 5)$ oraz $𝐶 = (3, - 3)$ są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu $𝐴 𝐵 𝐶 𝐷$ . Pole kwadratu $𝐴 𝐵 𝐶 𝐷$ jest równe

A

8 \sqrt 10

B

16 \sqrt 5

C

40

D

80

Odpowiedź

C

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie

czerwiec 2023Zadanie 28

Standardowe zadanie1 pkt.

Treść

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(𝑥, 𝑦)$ dane są punkty $𝐴 = (1, 7)$ oraz $𝑃 = (3, 1)$ . Punkt $𝑃$ dzieli odcinek $𝐴 𝐵$ tak, że $| 𝐴 𝑃 | : | 𝑃 𝐵 | = 1 : 3$ . Punkt $𝐵$ ma współrzędne

A

(9, - 5)

B

(9, - 17)

C

(7, - 11)

D

(5, - 5)

Odpowiedź

B

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie

czerwiec 2023Zadanie 29

Treść

Dany jest ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat o boku $6$ . Jedna z krawędzi bocznych tego ostrosłupa ma długość $12$ i jest prostopadła do płaszczyzny podstawy.

czerwiec 2023Zadanie 29.1

Standardowe zadanie1 pkt.

Treść

Objętość tego ostrosłupa jest równa ... .

Odpowiedź

144

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie

czerwiec 2023Zadanie 29.2

Niestandardowe zadanie1 pkt.

Treść

Tangens kąta nachylenia najdłuższej krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy jest równy

A

\sqrt 2

B

\sqrt 6 3

C

\sqrt 2 2

D

\sqrt 3 3

Odpowiedź

A

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie

czerwiec 2023Zadanie 30

Standardowe zadanie1 pkt.

Treść

Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny $𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐴' 𝐵' 𝐶' 𝐷' 𝐸' 𝐹'$ , w którym krawędź podstawy ma długość $5$ . Przekątna $𝐴 𝐷'$ tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $45 \circ$ (zobacz rysunek).

Pole ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe

A12,5

B25

C50

D100

Odpowiedź

C

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie

czerwiec 2023Zadanie 31

Pewniak maturalny1 pkt.

Treść

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych o sumie cyfr równej 3 jest

A8

B4

C5

D6

Odpowiedź

D

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie

czerwiec 2023Zadanie 32

Pewniak maturalny2 pkt.

Treść

Ze zbioru ośmiu kolejnych liczb naturalnych - od $1$ do $8$ - losujemy kolejno bez zwracania dwa razy po jednej liczbie. Niech $𝐴$ oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest dzielnikiem liczby $8$ . Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $𝐴$ .

Odpowiedź

$17$

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie

czerwiec 2023Zadanie 33

Niestandardowe zadanie4 pkt.

Treść

Działka ma kształt trapezu. Podstawy $𝐴 𝐵$ i $𝐶 𝐷$ tego trapezu mają długości $| 𝐴 𝐵 | = 400$ m oraz $| 𝐶 𝐷 | = 100$ m. Wysokość trapezu jest równa $75$ m, a jego kąty $𝐷 𝐴 𝐵$ i $𝐴 𝐵 𝐶$ są ostre. Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie $𝐴 𝐵$ tego trapezu, a dwa pozostałe – $𝐸$ oraz $𝐹$ – na ramionach $𝐴 𝐷$ i $𝐵 𝐶$ trapezu (zobacz rysunek). Wyznacz długości boków prostokąta, dla których powierzchnia wydzielonego placu będzie największa.

Wyznacz tę największą powierzchnię. Zapisz obliczenia.

$𝑊 𝑠 𝑘 𝑎 𝑧 ó 𝑤 𝑘 𝑎$ : Aby powiązać ze sobą wymiary prostokąta, skorzystaj z tego, że pole trapezu $𝐴 𝐵 𝐶 𝐷$ jest sumą pól trapezów $𝐴 𝐵 𝐹 𝐸$ oraz $𝐸 𝐹 𝐶 𝐷$ : $𝑃 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 = 𝑃 𝐴 𝐵 𝐹 𝐸 + 𝑃 𝐸 𝐹 𝐶 𝐷$

Odpowiedź

10 000

Zaloguj się, żeby zobaczyć rozwiązanie

Filtry

Treść

Odpowiedź

Treść

Odpowiedź

Treść

Treść

Odpowiedź

Treść

Odpowiedź

Treść

Odpowiedź

Treść

Odpowiedź

Treść

Odpowiedź

Treść

Treść

Odpowiedź

Treść

Odpowiedź

Treść

Odpowiedź

Treść

Treść

Odpowiedź

Treść

Odpowiedź

Treść

Odpowiedź

Treść

Odpowiedź

Treść

Odpowiedź

Treść

Odpowiedź

Treść

Odpowiedź

Treść

Odpowiedź

Treść

Odpowiedź

Treść

Odpowiedź

Treść

Odpowiedź

Treść

Odpowiedź

Treść

Odpowiedź

Treść

Odpowiedź

Treść

Odpowiedź

Treść

Treść

Odpowiedź

Treść

Odpowiedź

Treść

Odpowiedź

Treść

Odpowiedź

Treść

Odpowiedź

Treść

Odpowiedź